本篇笔记首先介绍了线性相关和线性无关的概念，关键是找到一组不全为零相关系数使得等成立；然后重点介绍了一些重要的结论，以及向量组线性相关和线性无关的几个充要条件。

1 线性相关与线性无关

线性相关：设${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$为$n$个$m$维向量，若存在一组不全为零的数$k_1,k_2,...,k_n$，使得$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_n{\alpha }_n=O$成立，则称向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性相关，而称$k_1,k_2,...,k_n$为一组相关系数；否则，称向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性无关。

只要找到一组就可以，能找到多组肯定也可以。

例如：$2\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+3\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)-1\times \left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=O$，相关系数为$2,3,-1$，不全为0；

又如：$1\times \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)-2\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+0\times \left(\begin{array}{c}8\\ 9\end{array}\right)=O$，相关系数为$1,-2,0$，也不全为0（注意：不是全不为0，有0可以，但别都是0就行）。

再如：$0\times \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)+0\times \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+0\times \left(\begin{array}{c}8\\ 9\end{array}\right)=O$，等式虽然成立，但相关系数为$0,0,0$，不能判断向量是否线性相关或线性无关。

线性无关：
$\{\begin{array}{ll}①& 不是线性相关；\\ ②& 找不到一组不全为零的相关系数使等式成立；\\ ③& 只有全为零的相关系统使等式成立。\end{array}$

2 一些结论

① 若向量组中两个向量的分量对应成比例，则向量组必线性相关。
例如：$-1\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+\frac{1}{2}\times \left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)+0\times \left(\begin{array}{c}5\\ 19\end{array}\right)+0\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 99\end{array}\right)=O$

② 含有零向量的任意向量组必线性相关。
例如：$0{\alpha }_1+0{\alpha }_2+0{\alpha }_3+1\times O=O$

③ 特别地：一个零向量必线性相关。
例如：$1\times O=O$

④ 任意一个非零向量必线性无关。
假设非零向量$\alpha \ne 0$，要证其线性相关，那么$k\alpha =0$，所以$k=0$（详见线性代数学习笔记（二十）——向量的定义例3.1.1），这与线性相关定义矛盾，故任意一个非零向量必线性无关。

⑤ 由一个向量$\alpha$构成的向量组线性相关$⟺\alpha =0$。

3 部分与整体向量组的线性关系

★★ 例8：若向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_r$线性相关，那么向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_r,{\alpha }_{r+1},...,{\alpha }_s$也线性相关。

例如，若向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关，那么向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,{\alpha }_5$也线性相关。
证明：因为向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关，所以存在不全为0的数$k_1,k_2,k_3$，
使得：$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=0$，
所以：$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3+0{\alpha }_4+0{\alpha }_5=0$，
相关系数$k_1,k_2,k_3,0,0$不全为0，故向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4,{\alpha }_5$也线性相关。

可推出以下命题：
$部分组线性相关，则整体组也线性相关$。

其逆否命题：
$整体组线性无关，则部分组也线性无关$。

4 接长与截短向量组的线性关系

★★ 例9：若向量组
${\alpha }_1=(a_{11},a_{12},...,a_{1r})$
${\alpha }_2=(a_{21},a_{22},...,a_{2r})$
$⋮$
${\alpha }_m=(a_{m1},a_{m2},...,a_{mr})$
线性无关，则向量组
${\gamma }_1=(a_{11},a_{12},...,a_{1r},a_{1,r+1},...,a_{1n})$
${\gamma }_2=(a_{21},a_{22},...,a_{2r},a_{2,r+1},...,a_{2n})$
$⋮$
${\gamma }_m=(a_{m1},a_{m2},...,a_{mr},a_{m,r+1},...,a_{mn})$
也线性无关。

例如，若${\alpha }_1=(1,3,5)$
${\alpha }_2=(6,-1,8)$
${\alpha }_3=(-3,3,9)$
线性无关，证明
${\gamma }_1=(1,3,5,1,6)$
${\gamma }_2=(6,-1,8,3,3)$
${\gamma }_3=(-3,3,9,10,8)$
也线性无关。

证明：假设$k_1{\gamma }_1+k_2{\gamma }_2+k_3{\gamma }_3=O$，
所以：$\{\begin{array}{l}{k}_1+6k_2-3k_3=0\\ 3k_1-k_2+3k_3=0\\ 5k_1+8k_2+9k_3=0\\ k_1+3k_2+10k_3=0\\ 6k_1+3k_2+8k_3=0\end{array}$
通过观察前三项
$\{\begin{array}{l}{k}_1+6k_2-3k_3=0\\ 3k_1-k_2+3k_3=0\\ 5k_1+8k_2+9k_3=0\end{array}$
可以看出：$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=O$，
又因为向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，
所以$k_1,k_2,k_3$必全为0，
故向量组${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$也线性无关。

可推出以下命题：
$线性无关的向量组，接长向量组也线性无关$。

其逆否命题：
$线性相关的向量组，截短向量组也线性相关$。

5 行列式值与向量组的线性关系

★★ 例10：如果$n$个$n$维向量（向量的个数等于向量的维数才适用）
${\alpha }_1=(a_{11},a_{12},...,a_{1n})$
${\alpha }_2=(a_{21},a_{22},...,a_{2n})$
$⋮$
${\alpha }_n=(a_{n1},a_{n2},...,a_{nn})$
构成的行列式
$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$，
那么，${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性无关。

证明：设存在数$k_1,k_2,...,k_n$使得$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_n{\alpha }_n=O$，即
$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{k}_1+a_{21}{k}_2+...+a_{n1}{k}_n=0\\ a_{12}{k}_1+a_{22}{k}_2+...+a_{n2}{k}_n=0\\ ⋮\\ a_{1n}{k}_1+a_{2n}{k}_2+...+a_{nn}{k}_n=0\end{array}$
由于该齐次线性方程组的系数行列式$D^T=D\ne 0$，
由线性代数学习笔记（七）——克莱姆法则定理 1.5.2可知，
该齐次线性方程组仅有零解，
即$k_1=k_2=...=k_n=0$，
故，向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性无关。

可推出以下命题：
$D\ne 0⟺线性无关$。

其逆否命题：
$D=0⟺线性相关$。

举例：判断向量$(1,0,3)$、$(2,1,1)$和$(1,1,0)$是线性相关还是线性无关。
首先判断向量的个数等于向量的维数，即3个3维向量适用上述结论。
然后求行列式的值，即
$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|$
若行列式值为0，则线性相关，反之，则线性无关。

6 单位向量组的线性关系

例11：$n$维单位向量组线性无关。
证明：因为$n$维单位向量组
${\epsilon }_1=(1,0,...,0)$，
${\epsilon }_2=(0,1,...,0)$，
$⋮$
${\epsilon }_n=(0,0,...,1)$
构成的行列式
$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right|=1\ne 0$，
由例10的结论可知，向量组${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,...,{\epsilon }_n$线性无关。

7 方程组解与向量组的线性关系

例12：判断向量${\alpha }_1=(1,0,-1)$、${\alpha }_2=(-1,-1,2)$和${\alpha }_3=(2,3,-5)$是线性相关还是线性无关。如果线性相关，求一组相关系数。
分析：本题可以用上述例10的结论，以下按照传统方式计算。
解：第一步：设相关系数，
设数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=O$，

第二步：将向量代入，
$k_1(1,0,-1)+k_2(-1,-1,2)+k_3(2,3,-5)=O$，

第三步：联立方程组，
$\{\begin{array}{llccccc}{k}_1& -& k_2& +& 2k_3& =& 0\\ & & -k_2& +& 3k_3& =& 0\\ -k_1& +& 2k_2& -& 5k_3& =& 0\end{array}$

第四步：解方程组，
$\{\begin{array}{l}{k}_1=k_3\\ k_2=3k_3\end{array}$

令$k_3=1$，则$k_1=1$，$k_2=3$，

第五步：判断相关性，
所以存在一组不全为0的数$1,3,1$，使得${\alpha }_1+3{\alpha }_2+{\alpha }_3=O$，
故向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关，一组相关系数为$1,3,1$。

能否令$k_3=0$呢？
答案是不能。
若令$k_3=0$，则$k_1=0$，$k_2=0$，

是否说明向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关呢？
答案也是不能。
线性相关和线性无关的本质是：能否找到一组非零的数使等式成立。

通过观察上述向量和方程组不难看出：原来的每个向量的分量，直接写成方程组的系数，不管是行向量还是列向量，都按列写成方程组的系数。

可推出以下命题：
$方程组有非零解⟺线性相关$。

其逆否命题：
$方程组只有零解⟺线性无关$。

回顾：
$线性组合⟺方程组有解$。
只要有解就行，具体是零解还是非零解无所谓！

★★ 例13：若向量组$\alpha ,\beta ,\gamma$线性无关，则向量组$\alpha +\beta ,\beta +\gamma ,\gamma +\alpha$也线性无关。
证明：设有数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1(\alpha +\beta )+k_2(\beta +\gamma )+k_3(\gamma +\alpha )=O$，
即：$(k_1+k_3)\alpha +(k_1+k_2)\beta +(k_2+k_3)\gamma =O$，
因为向量组$\alpha ,\beta ,\gamma$线性无关，故
$\{\begin{array}{llccccc}{k}_1& & & +& k_3& =& 0\\ k_1& +& k_2& & & =& 0\\ & & k_2& +& k_3& =& 0\end{array}$
由此解得$k_1=k_2=k_3=0$，
所以向量组$\alpha +\beta ,\beta +\gamma ,\gamma +\alpha$线性无关。

8 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_3.2 向量间的线性关系（二）